水平荷载下楼板的应力分析及配筋设计

刘孝国

（中国建筑科学研究院有限公司 北京构力科技有限公司 北京 100013）

[摘要] 建筑结构中的楼板作为主要水平构件，不仅需要承受和传递水平与竖向荷载，而且需要协调各抗侧力构件之间的变形。结构楼板设计时，常用设计方法仅考虑竖向荷载引起的楼板面外弯矩，而忽视了水平荷载作用下产生的楼板面外弯矩和面内应力的影响，更重要的是忽略了在各种荷载下楼板的板面内的轴力。楼板与梁、柱墙等构件共同受力，本文对建筑结构楼板面内应力分析与设计进行了探讨，介绍了PKPM计算程序中PM楼板计算、SATWE、PMSAP及slab楼板应力分析的方法，给出了楼板承载力验算方法，并给出几种计算方法对楼板应力计算的不同。同时针对SATWE及PMSAP软件可以考虑梁、柱、墙板进行整体有限元计算，并详解考虑楼板在各种荷载作用下的拉力组合，按照拉弯构件进行板配筋，供设计师在工程设计中参考。

[关键词] 水平荷载；面外弯矩；面内轴力；楼板承载力；板拉弯配筋；等效拉力；PKPM系列软件

0 前言

建筑结构由水平和竖向构件组成的抗侧力体系抵抗和传递水平力。楼板作为主要水平构件，不仅需要承受和传递竖向荷载，而且需要把地震作用及风荷载等引起的水平力传递和分配到各竖向抗侧力构件，从而协调各抗侧力构件之间的变形。

随着高层建筑结构的迅速发展，平面不规则、楼板不连续、竖向不规则、框架边筒( 筒偏置) 、单向少墙的剪力墙、带斜板结构等纷纷涌现，此类结构的楼板在水平荷载作用下将产生较大的楼板平面内轴力、剪力以及面外附加弯矩，在结构设计中必须加以考虑。

当前常用的楼板设计方法，主要考虑了竖向荷载的作用，并未涵盖水平荷载对楼板平面内和平面外作用的内容。为了考虑水平荷载对楼板的作用，设计师已逐渐习惯采用楼板应力分析的有限元方法进行补充验算。但是如何应用软件进行楼板的应力分析和设计尚存在一些困惑，规范对此也没有相应的规定。因此，在楼板承载力验算时，如何考虑水平荷载作用下楼板受力是工程界亟待解决的问题，并且考虑水平荷载之后楼板还需要按照拉弯构件进行配筋设计。本文结合PKPM系列软件对于楼板的计算方法，深入分析各种软件对于楼板处理方法的不同及配筋结果的差异，提出工程中相应的建议设计方法。

1 常用楼板设计方法

常规的楼板设计采用分离式设计，在梁、柱及墙等整体计算完毕之后，再进行板单独的设计，此时，楼板设计仅考虑竖向荷载引起的面外弯矩对板配筋的影响。

一般在设计中对于规则的矩形楼板按照由主梁、次梁或墙围成的每一个板块，逐个地单独进行板的弯矩计算和配筋。计算时分别按矩形板 （单向板、双向板）考虑每一板块四周的支承条件和梁墙的偏心状况。单向板与双向板的判断参照《混凝土结构设计规范》GB50010-2010（简称“混规”）第 9.1.1条。

单向板计算，两端铰支板跨中弯矩为：

（1）

单向板一端固定一端铰支，板跨中及支座弯矩为：

， （2）

单向板两端固定时，楼板跨中及支座的弯矩为：

， （3）

对双向板（长边/短边<3），按《建筑结构静力计算手册》（中国建筑工业出版社，1974）中弹性理论计算所得弯矩，未考虑板的塑性影响。

PMCAD混凝土板施工图中，楼板计算时，程序对于规则矩形楼板按照上述的方式进行内力与配筋计算，程序对于边跨端部计算时，隐含的设计是按简支计算。如为梁或混凝土墙支座，可修改为按固定端计算。也可以人工修改边跨跨端的支座算法。

对非矩形的凸形不规则板块，程序用边界元法计算该块板，对非矩形的凹形不规则板块，程序用有限元法计算该块板，程序自动识别板的形状类型并选相应的计算方法。

2 楼板面内受力的应力形式

对于楼板不连续、大开洞、斜板、平面不规则等结构，水平荷载作用下，面内可能会产生较大的轴向力和剪力。在轴向力作用下，楼板可能全截面受拉也可能全截面受压。在楼板面内的剪应力与轴向正应力共同作用下，楼板的主拉应力较轴向正应力大，此时楼板的抗裂性能由主拉应力控制，配筋也主拉应力控制。主拉应力的主要作用在于定性判断楼板裂缝开展情况，并根据主拉应力云图判断需要采取加强措施的薄弱位置。由于主拉应力方向的不一致，一般不宜根据主拉应力迹线的走势进行楼板配筋设计，宜按照投影到轴向应力方向进行设计。而楼板轴向正应力的主要意义在于用于判断楼板可能发生受拉破坏的部位及严重程度，并根据计算结果，对薄弱部位采用面内轴向合力进行楼板配筋计算。

3 楼板面外受力的应力形式

在水平荷载作用下，楼板除产生一定的面内轴向力和剪力外，楼板面外会产生一定的弯矩，如单向少墙的剪力墙结构，此时楼板受力特征与受弯梁相似。楼板上表面的弯曲正应力与下表面的弯曲正应力形成抵抗力矩，在满足平截面假定的情形下，其应力分布呈现以截面中性轴为界，楼板上下表面一侧受拉、一侧受压，楼板中性轴所在面应力为0的情形。弯曲正应力形成楼板面外弯矩，此时楼板的受弯配筋设计应由竖向荷载产生的面外弯矩配筋和水平荷载产生的面外弯矩配筋叠加组成。

4 楼板设计承载力验算方法

进行楼板截面配筋和承载力设计时，应同时计入竖向荷载和水平荷载作用的影响。一般较规则的建筑竖向荷载作用下楼板仅产生弯曲应力，楼板面内应力可忽略不计。但对于有斜撑、斜柱、加强层、腰桁架等的建筑及平面大开洞、斜板、弱连接楼板等结构的楼板，竖向荷载下楼板除产生较大的面内应力和一定的面外弯曲应力，水平荷载下产生较大的轴向正应力，这类楼板在进行应力分析时需要考虑楼板的面内与面外刚度，楼板存在面内的轴向正应力、剪应力、主拉应力以及面外弯曲正应力等几种形式共存，楼板中的弯曲正应力与轴向正应力同时存在，楼板配筋应取弯曲正应力配筋结果与轴向正应力配筋结果之和。

按照规范对梁、柱配筋的要求，对按照应力计算的楼板建议考虑拉弯进行板配筋，在小震下满足小震拉弯构件承载力的要求，对楼板承载力的验算公式为：

（4）

式中:为重力荷载代表值的效应；，分别为小震水平和竖向地震作用标准值楼板件内力;为风荷载效应下楼板标准值;为风荷载的组合值系数，对高度超高60米的高层结构，风荷载与地震同时组合取0.2，无地震参与组合时取1.0；为重力荷载分项系数；为水平地震作用分项系数；为竖向地震作用分项系数；为构件承载力设计值；构件承载力抗震调整系数。

楼板按小震或风荷载作用下进行应力计算，再对应力进行积分得到内力，按照拉弯、纯弯的组合内力进行楼板配筋计算。

5 PM楼板施工图中楼板的有限元计算

PMCAD楼板施工图中对规则矩形楼板采用简化算法计算板配筋，对非矩形的凹形不规则板块，程序会自动按有限元法计算该块板。同时在程序中对于作用局部荷载的房间，即使是规则矩形楼板，计算时也会自动按照有限元法计算该楼板的内力与配筋。同时对于房间边界条件不统一的情况下，也会默认按照有限元法进行楼板的计算。当然规则楼板设计师也可以选择按照有限元方法进行计算，如图1所示，为楼板计算方法的选择。

图1 PM楼板施工图中板计算方法的选择

PMCAD楼板施工图的有限元计算，是按照每一个房间单独有限元计算，并且考虑每个楼板的边界条件为简支、固结或者自由，并不考虑楼板边界的真实约束。PM楼板施工图中按照有限元法计算的楼板，程序会进行网格剖分，在计算结果中也可以查看到楼板网格的剖分情况，如图2所示。可以直接通过计算书或者图形文件直接查看有限元计算的弯矩及配筋结果，此时的板配筋是按照纯弯构件计算的结果。图3为楼板按照有限元计算输出的板跨中的弯矩及配筋结果。

图2 PM楼板施工图有限元法楼板网格剖分 图3 楼板按照有限元计算弯矩及配筋结果

6 SLABCAD、SATWE及PMSAP的梁板计算模型

使用SLABCAD、SATWE及PMSAP等有限元软件进行楼板应力分析，由于软件建模时，梁、柱、斜撑等构件采用梁(杆)单元，剪力墙、楼板等构件采用壳(板)单元。因此，梁(杆)单元与壳单元通过相交的结点进行连接，计算模型梁板模型属于中对中模型，楼板需要进行网格剖分，通过网格与梁单元相交的节点协调变形。如图4所示为PKPM系列软件（SLABCAD，SATWE及PMSAP）程序默认的计算模型。对这种梁板协调模型，梁的截面中心(几何中心)与楼板的中面连接，此模拟方法计算得到的梁轴力较接近实际，但计算得到的梁弯矩失真，此时可以考虑通过输入梁刚度放大系数来解决，在整体计算中有中梁刚度放大系数来保证。

图4 梁板协调变形的中对中计算模型

要实现梁板顶面对齐模型，在SATWE、PMSAP中也可以，选择“分析和设计参数中”图5所示“考虑梁板顶面对齐”，程序自动将梁、板向下偏移至上表面与柱平齐，这种计算模型理论上更加接近于工程实际情况，因此，中梁刚度放大系数取值为1.0，且需全楼定义弹性板，由于与传统按中对中模型梁、柱、墙等计算配筋差异大，建议慎重采用。图6为考虑梁板顶面对齐的计算模型。

图5 参数中选择“考虑梁板顶面对齐” 图6 梁板顶面对齐的计算模型

7 SLABCAD楼板有限元计算及配筋

对板柱结构、厚板转换层结构、楼板局部开大洞结构等越来越多，这些特殊结构，楼板的受力是相当复杂的，传统的楼板设计方法已难以适应这些复杂工程的要求。SLABCAD采用有限元方法对各种复杂楼板进行分析，求出节点内力并进行节点配筋，并对相对规则楼板也可以采用板带设计的方法进行板带配筋计算及裂缝、挠度、冲切验算。

SLABCAD楼板有限元计算，可以进行分层的楼板应力分析，不仅可以考虑本层竖向构件的不均匀变形，同时可以考虑水平框架梁构件的真实的刚度约束，更为准确的是可以考虑楼板之间的相互作用，对于楼板上的竖向荷载进行整层楼板的的有限元分析。SLABCAD对板采用有限元分析方法，得到各个单元节点的内力值，设计时根据单元节点的值通过插值得到与1m板带截面相交的各个交点的内力值，之后通过这些点的值进行积分得到截面的内力，再按照纯弯构件进行板构件的配筋设计。楼板有限元结果是不能考虑水平力的，只能考虑竖向楼板承受竖向荷载。

SLABCAD中如果要考虑水平荷载对板的影响，需要按照板带方式进行设计。基本思路是：（1）PMCAD建模时在柱上板带位置输入按照规范要求确定的等代梁截面。（2）使用SATWE软件进行整体分析。（3）对竖向荷载（恒载、活载、人防和竖向地震）进行有限元分析。（4）借鉴板柱体系常用的等代框架的思路，对楼板划分柱上板带和跨中板带，对柱上板带，水平荷载作用下的内力取SATWE的计算结果，竖向作用（包括预应力荷载）内力取有限元分析的结果进行积分。有限元得到各个单元节点的内力值，板带设计时根据单元节点的值通过插值得到与截面相交的各个交点的内力值，之后通过这些点的值进行积分得到截面的内力。对于跨中板带，只取有限元积分的结果。（5）板带内力组合及配筋。对板带单工况内力进行组合，并按照受弯构件或偏心受拉构件进行柱上板带配筋设计。按照板带的计算结果考虑，此时SLABCAD可以考虑柱上板带作为拉弯构件设计。图6为某楼板按照SLABCAD有限元计算的弯矩云图结果，图7所示为按照等代梁方式进行柱上板带设计的结果。

图7 楼板按照SLABCAD有限元计算的弯矩云图 图8 SLABCAD中柱上板带按照等代框架梁设计结果

8 SATWE、PMSAP楼板有限元计算及配筋

SATWE及PMSAP软件按照默认中对中的方式考虑梁板的变形协调，如果要进行楼板的有限元分析，需要在参数中选择“楼板按有限元方式进行设计”，如图9所示，同时需要在“弹性板”下将楼板定义为“弹性板3”或者“弹性板6”，如图10所示，要得到板的配筋必须考虑板的面外刚度。

图9 选择楼板按照有限元方式进行设计 图10 定义楼板为弹性板3或6

定义弹性板之后，程序对弹性板进行剖分，然后计算楼板在各种工况下的应力，应变结果，在后处理“楼板”结果下输出楼板的等位移线、等应力线及配筋，通过结果可以查看到楼板在各种荷载作用下的正应力、面外的弯矩、剪力、面内最大剪应力、面内主拉应力、面外弯矩等，同时可以看到板的顶底两个方向的配筋结果供设计师采用。SATWE及PMSAP均在计算楼板时按照拉弯构件进行了设计。

对于配筋，用户可以查看板顶或板底的x向和y向配筋点值或云图，也可以查看楼板简化配筋值。注意，此处说的x向和y向配筋指的是沿着ALF和ALF+90方向的配筋（ALF是配筋方向与局部系x轴的逆时针转动的夹角，根据前处理板的特殊构件中配筋角度α得到）。显示配筋点值或者楼板简化配筋值时，每个节点（边）上有两个值，上方的值为x向配筋值（ALF），下方的值为y向配筋值（ALF+90），楼板的配筋方向角度ALF在简化配筋的中心点处标出。

点击“文本结果”可以弹出WPOLYREIN.OUT文本文件查看各板的配筋情况。

以图11的工程案例为考察对象，使用SATWE软件进行楼板有限元整体分析，研究该模型中第三层的用红圈标识出的狭长楼板的应力及配筋结果。

图11 工程案例三维图

计算完毕之后可以看到第三层狭长楼板的应力结果，可以看到该楼板在恒载下的正应力Sy很大，如图12所示，基本接近2Mpa，也就是该楼板主要表现出沿板Y方向的受拉，这是由于第三层有斜板，推力导致了板产生很大的轴拉力，该板在恒载下的正应力Sx很小，如图13所示；查看该楼板的主拉应力S1结果如图14所示，该结果也很大，最大的主拉应力超过了2Mpa；恒载下平面内的最大剪应力S12也超过了1Mpa，如图15所示。

图12 恒载下狭长板带的平面正应力Sy图 图13 恒载下狭长板带的平面正应力Sx图

图14 恒载下狭长板带的平面主应力S1图 图15 恒载下狭长板带的平面最大剪应力S12图

对于该狭长板带的顶部和底部两个方向的配筋结果如图16，17为所示。图18，19为楼板按照板底、板顶简化的配筋结果。

图16 楼板有限元板顶节点配筋 图17 楼板有限元板底节点配筋

图18 楼板有限元计算板顶简化配筋 图19 楼板有限元计算板底简化配筋

楼板简化配筋结果是楼板节点配筋中所有节点最大的结果。楼板的详细的应力计算结果及组合内力配筋结果都可以通过文本文件进一步查看。如图20所示，为该板按有限元进行配筋计算的详细结果。从该详细文本文档中可以看到该楼板的每个有限元剖分的网格的点值内力与配筋结果。在该详细文档中还输出了如图21所示的楼板的等效弯矩与拉力，并且考虑所有的组合，楼板每个点值配筋结果都按照拉弯构件进行最不利的设计。

图20 楼板按照有限元计算的详细文本结果 图21 有限元计算文本中输出的等效轴力与弯矩

SATWE及PMSAP的楼板整体有限元分析，不仅仅考虑了结构构件整体之间的变形协调，同时考虑了楼板之间的变形协调，理论上是准确的楼板设计方法，同时在设计中考虑了楼板承担水平和竖向荷载，配筋设计阶段考虑楼板的拉力，板的配筋是按照拉弯构件计算的结果。

9 结论

( 1) 目前常用的楼板设计方法在楼板设计时只考虑了竖向荷载引起的面外弯矩，仅适用于水平荷载下楼板面内应力可以忽略的规则结构。对于不规则结构的楼板，在水平荷载作用下产生的楼板平面内轴力、剪力以及面外附加弯矩不容忽视，设计时必须考虑在内。

( 2) PMCAD楼板施工图中的有限元计算是仅仅考虑板变形，支座条件指定为固结、简支或者铰接的计算方式，也仅仅考虑板面外弯矩，板按照受弯构件设计。

（3）SLABCAD楼板有限元计算可以考虑板之间的变形协调，同时还可以考虑本层竖向构件轴向变形的影响，相比PM对约束模拟更准确，有限元点值配筋按照纯弯构件仅考虑竖向荷载设计；对于柱上板带可以考虑读取SATWE的水平力，可以按照拉弯构件进行柱上板带设计，跨中板带按照纯弯构件设计。

（4）SATWE与PMSAP进行楼板有限元整体计算，给出的是楼板的点值配筋结果，楼板的有限元计算时，不仅仅通过考虑全楼竖向构件的变形可以考虑楼板之间的相互影响，也可以考虑本层楼板的相互影响，同时也考虑楼板的真实边界约束条件。配筋计算中计算出等效的拉力与弯矩之后，按照拉弯构件进行板的配筋设计，并可以按照简化方式显示最终的配筋结果供设计师在设计中参考。

（5）工程中有些楼板面内变形很大，可能会产生较大的轴力，在设计中不能忽略，尤其如本文案例中的这类狭长的薄弱板带，设计中需要引起足够的重视，不能仅仅按照纯弯构件考虑板配筋，而需要考虑板的拉弯配筋。

参 考 文 献

[1] GB50009-2002建筑结构荷载规范标准[S].北京：中国建筑工业出版社，2012.

[2] GB50010-2010 混凝土结构设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社，2011

[3] JGJ3-2010 高层建筑混凝土结构技术规程[S].北京：中国建筑工业出版社，2011