柱剪跨比λ相关探讨（一）——概念和原理

刘骁健

北京构力科技有限公司 北京 100013

[摘要]剪跨比一般分为简化剪跨比通用算法M/(V*ho)和简化算法H/(2*ho)两种。设计师们经常面临选择的困惑，究竟在何种情况下应用哪一种算法，以及它们各自的适用条件是什么？针对不同情况哪种计算剪跨比的方法更为合理？哪一种又更经济？在使用过程中又有哪些注意事项？本文将通过概述剪跨比的起源、本质、推导过程以及对构件的破坏影响，结合程序的计算执行方式，针对不同结构情况进行了实际测试对比分析，深入阐释剪跨比的作用原理和适用范围，并提出相应的使用推荐方法。

[关键词]剪跨比；柱剪跨比；广义剪跨比；简化算法；通用算法；

1 简述：柱剪跨比λ

1.1 SATWE参数：柱剪跨比λ

在PKPM结构程序的SATWE模块中，程序提供了关于“柱剪跨比λ计算原则”的参数设定。设计师可根据具体需求，选择采用“简化方式”或“通用方式”进行计算。

通用算法为M/(V*ho)；

简化算法为H/(2*ho)，并可勾选参数"H取柱净高Hn"，即采用柱净高Hn进行计算；

图1 SATWE参数—柱剪跨比计算原则

1.2 规范计算“柱剪跨比λ”的目的

柱剪跨比λ，在《混凝土结构设计标准》（简称《混标》）《混凝土结构通用规范》（简称《混通规》）《建筑抗震设计标准》（简称《抗标》）《高层建筑混凝土结构技术规程》（简称《高规》）《组合结构设计规范》（简称《组合规》）以及《异形柱结构技术规程》（简称《异形柱》）等国家规范及标准中均被详细阐述，可见“柱剪跨比”在结构设计中的重要性。

其主要作用体现在以下几个方面：（1）用于判断构件是否属于短柱；（2）柱剪压比计算；（3）柱斜截面受剪承载力计算；

1.2.1 通过剪跨比λ判断是否属于短柱

若λ＜2判断为短柱，则其延性较差，应遵循相关规范要求加强构件的构造措施。

《混通规》4.4.9：剪跨比不大于2的柱，箍筋应全高加密，且筋间距不应大于100mm。

《混标》11.4.11-2：柱的剪跨比宜大于2；

《混标》11.4.12-3：框支柱和剪跨比不大于2的框架柱应在柱全高范围内加密箍筋；

《混标》11.4.13：柱的剪跨比不大于2时，柱每侧纵向钢筋的配筋率不宜大于1.2%；

《混标》11.4.16－注：表内限值适用于剪跨比大于2、混凝土强度等级不高于C60的柱；剪跨比不大于2的柱轴压比限值应降低0.05；剪跨比小于1.5的柱，轴压比限值应专门研究并采取特殊构造措施；

《混标》11.4.17-4：当剪跨比λ不大于2时，宜采用复合螺旋箍或井字复合箍，其箍筋体积配筋率不应小于1.2%；9度设防烈度一级抗震等级时，不应小于 1.5%。

需注意：上述内容在《混标》《抗标》以及《高规》中的表述基本保持一致；

图2 剪跨比λ＜2，增大体积配箍率

1.2.2 计算柱“剪压比”

若λ＜2，则公式中系数取0.15，剪压比计算更不利；

详见《混标》11.4.6，同《抗标》6.2.9、《高规》6.2.6；

图3 剪跨比规范

图4 剪跨比λ计算斜截面受剪承载力

1.2.3计算柱“斜截面受剪承载力”

详见《混标》11.4.7，同《高规》6.2.8-2；

《混标》中同类规范还有：6.3.4、6.3.12、6.3.13、6.3.14、6.3.17、6.3.21、6.3.22、11.4.10、G.0.4等。

图5 斜截面受剪承载力规范

图6 SATWE计算受剪承载力过程

2 剪跨比λ的概念

2.1 剪跨比λ的由来

根据《混凝土结构设计原理》中介绍，采用矩形截面简支无腹筋梁进行实验，并施加对称的集中荷载。这种情况下(忽略梁的自重)，剪弯段内的剪力均匀分布，而弯矩图为斜直线。

实验发现，集中荷载的作用位置对剪弯段的受力有很大影响，通常把集中荷载至支座间的距离a称为剪跨，它与截面有效高度ho之比称为剪跨比：λ=a/ho。

实验证明，当剪跨比在一定范围内变化时，随着剪跨比λ的增加，梁斜截面受剪承载力降低，破坏形态由“斜压～剪压～斜拉”的顺序演变，但是当λ>3时，剪跨比的影响将不明显。

进一步研究发现，在矩形截面简支梁的集中荷载F的作用位置，弯矩为M=Fa，剪力为V=F，经过推导，剪跨比λ=a/ho=M/Fho=M/Vho，它反映了集中荷载作用位置处的弯矩M和剪力V相对值的比例。对其他荷载(如均布荷载等)作用下的“某一截面的 M/Vho”，称为“广义剪跨比”。

图7 梁剪跨比试验

2.2 剪跨比λ的实质

根据《混凝土结构设计原理》中介绍，剪跨比λ=M/Vho的实质是截面上正应力σ与剪应力τ的比值关系。

考虑剪弯段内裂缝出现前，当施加的荷载较小时，剪弯段内处于弹性工作阶段，尚未出现裂缝，因此可以用材料力学的分析方法分析梁内各截面的应力状态，并可画出在荷载作用下的主应力迹线。如图所示，其中实线为主拉应力迹线，虚线为主压应力迹线。在截面1-1上的微元体1、2、3分别处于不同的应力状态：

位于中和轴处的微元体1，其正应力为零，剪应力最大，主拉应力σtp和主压应力σcp与梁轴线成45°；

位于受压区的微元体2，由于压应力的存在，主拉应力σtp减少，主压应力σcp增大，主拉应力与梁轴线夹角大于45°；

位于受拉区的微元体3，由于拉应力的存在，主拉应力σtp增大，主压应力σcp减小，主拉应力与梁轴线夹角小于45°；

对于匀质弹性体的梁来说，当主拉应力或主压应力达到材料的复合抗拉强度或抗压强度时，将引起构件截面的破坏。

图8 截面1-1上的微元体1、2、3

2.3 剪跨比λ的推导过程

根据上文所述，剪跨比λ=M/Vho的实质是截面上正应力σ与剪应力τ的比值关系，正应力σ与剪应力τ决定了主应力的大小和方向，必然对斜截面的抗剪性能和破坏形态起着重要影响。所以，剪跨比包含在受剪承载力公式中。具体推导如下：

截面上某点正应力σ =M*y/Iz；

其中，y为该点到中性轴的距离，当y=ho/2时为正应力最大值σmax= (M*ho)/(2Iz)；

其中，Iz为截面惯性矩，对矩形截面Iz=bho³/12，b为矩形截面宽度，ho为矩形截面有效高度；

截面上某点剪应力为τ=V/(2*Iz)*[(ho²/4)-(y²)]；

如图所示，最大值为τmax=(V*ho²)/(8*Iz)，其截面平均剪应力为V/(b*ho)；

分别比较同一截面上压应力与剪应力的关系：其中最大压应力与最大剪应力的比值为：σmax/τmax=[ (M*ho)/(2Iz)]/[(V*ho²)/(8*Iz)]=4*M/(Vho)；

最大压应力与平均剪应力比值为σmax/τ=[ (M*ho)/(2Iz)][V/(b*ho)]=6*M/(Vho)；

总结：剪跨比λ是使截面产生弯曲的应力σ（压应力）与使截面产生剪切的应力τ（剪应力）之间的比值，是衡量构件发生剪切破坏难易程度的一个指标。

因此规范取M/(Vho)作为剪跨比，实质上是取截面上正应力σ与剪应力τ的比值关系。

图9 正应力与剪应力

3 剪跨比λ对破坏状态的影响

3.1剪跨比λ对梁破坏形态的影响

根据教材《混凝土结构设计原理》所述，大量试验结果表明，无腹筋梁的斜截面剪切破坏主要有3种形态：

1、斜压破坏：这种破坏发生在剪跨比很小（λ≤1.5）或腹板宽度较窄的T形梁和I形梁上。其破坏过程是：首先在荷载作用点与支座间的梁腹部出现若干条平行的斜裂缝(即腹剪型斜裂缝）；随着荷载的增加，梁腹被这些斜裂缝分割为若干斜向“短柱”，最后因柱体混凝土被压碎而破坏。这实际上是拱体的混凝土被压坏。斜压破坏的破坏荷载很高，但变形很小，亦属于脆性破坏。

2、剪压破坏：当剪跨比适中（1.5＜λ≤3），斜裂缝中的某一条发展成为临界斜裂缝后，荷载的增加使临界斜裂缝向荷载作用点缓慢发展，导致混凝土剪压区高度的不断减小，最后在剪应力和压应力的共同作用下，剪压区混凝土被压碎(拱顶破坏)，梁发生破坏，丧失承载能力。这种破坏有一定的预兆，破坏荷载较出现斜裂缝时的荷载为高。但与适筋梁的正截面破坏相比，剪压破坏仍属于脆性破坏。破坏时纵向钢筋拉应力往往低于其屈服强度。

3、斜拉破坏：当剪跨比λ较大时（λ＞3），斜裂缝一旦出现，便迅速向集中荷载作用点延伸，并很快形成临界斜裂缝，梁随即破坏。整个破坏过程急速而突然，破坏荷载与出现斜裂缝时的荷载相当接近，破坏前梁的变形很小，并且往往只有一条斜裂缝。这种破坏是拱体混凝土被拉坏，破坏具有明显的脆性。

需注意，如果箍筋配置数量适当的话，则可避免斜拉破坏，而转为有一定预兆的剪压破坏。

图10 斜截面破坏状态

3.2 剪跨比λ对柱破坏形态的影响

根据教材《高层建筑结构设计》所述，实验结果表明，柱子的破坏形态会随着剪跨比的不同而呈现三种类型：

当λ>2时，为长柱，柱的破坏形态为压弯型，只要配筋构造合理一般都能满足柱的斜截面受剪承载力大于其正截面偏心受压承载力的要求，并且有一定的变形能力。

当1.5≤λ<2时，为短柱，柱将产生以剪切为主的破坏，当提高混凝土强度或配有足够的箍筋时，也可能出现具有一定延性的剪压破坏。

当λ<1.5时，为极短柱，柱的破坏形态为脆性剪切破坏，抗震性能差，一般设计中应当尽量避免。如无法避免，则要采取特殊措施以保证其斜截面承载力。

3.3 总结破坏形态和剪跨比λ的关系

1、综上可知，剪跨比λ所反映的是一种结构破坏的状态，而非数量指标。

观察梁和柱两种构件的破坏模式，可以发现，随着剪跨比λ的增加，即便破坏性质仍属于脆性，但通过恰当的钢筋构造，可以将无预兆的脆性破坏模式转变为具有明显预兆的延性破坏。

相对地，当剪跨比λ较小时，破坏模式更倾向于无明显预兆的脆性破坏。这种破坏模式不易通过钢筋构造等手段进行改善，因此在设计时应尽量避免，或采取特别加强措施。

因此，当λ小于2时，按照规范规定，将此类框柱归类为短柱；并且在进行剪压比计算时，把系数从0.20调整至更为保守的0.15。

2、根据《混凝土结构设计原理》所述，随着剪跨比λ的增加，斜截面受剪承载力降低，梁的破坏形态由“斜压～剪压～斜拉”的顺序演变，但是当λ>3时，剪跨比的影响将不明显。

（1）因此，《混标》6.3.4和6.3.12对斜截面受剪承载力的规定：当λ＞3时，取3。

（2）斜截面受剪承载力由混凝土的抗拉强度决定，所以《混标》6.3.12对斜截面受剪承载力的规定V≤[1.75/(λ+1)]ft*b*ho中，用ft混凝土轴心抗拉强度，而不是fc混凝土轴心抗压强度进行计算。

图11《混标》6.3.12

4 柱剪跨比λ的计算方法

4.1 通用算法、简化算法

根据《混标》6.3.12、《抗标》6.2.9、《高规》6.2.6

通用算法：λ=M/(V*ho)，即为前文所述的“广义剪跨比”；

简化算法：对框架结构中的框架柱，当其反弯点在层高范围内时，可取为λ=Hn/(2ho)；

注意：按照《规范》在进行此处的计算时，所采用的参数为“柱净高Hn”。

程序还提供了采用“柱层高H”的剪跨比简化算法。

图12 《混标》6.3.12

4.2 两种算法的应用条件

1、通用剪跨比λ=M/(Vho)：

通过前文已知，广义剪跨比λ=M/(Vho)实质是正应力σ与剪应力τ的比值关系，所以通用λ=M/(Vho)是可以应用于任何场景的。

2、简化剪跨比λ=Hn/(2ho)：

在假定柱的反弯点位于柱体中点的情况下：λ=M/(Vho)=(V*Hn/2)/(Vho)=Hn/(2ho)；

换言之，仅当反弯点位于柱体的中点，或者与柱体中心区域极为接近时，方可采用简化剪跨比进行计算。

如图所示案例：

简化算法下，1层、3层、4层柱剪跨比λ＜2，被界定为短柱；

通用算法下，1层～4层柱剪跨比λ＞2，均被界定为非短柱；

通过查看弯矩图分析发现，当反弯点距离柱体中心较远时，或反弯点不在框柱中间时，简化算法可能并不完全适用，或者说更严格。因此建议设计师在运用此算法前，应评估其适用性。本案例最终审图老师并未按照“简化算法”结果判定其为短柱。

针对这类工程，若在设计阶段，可以进行严格保守处理；但在“事后审图”阶段，若因采用简化算法被认定为短柱，设计师可利用通用算法进行复核。若复核结果并非短柱，可提出意见进行申诉和讨论。

图13简化算法和通用算法对比

4.3 柱剪跨比λ与反弯点的关系

根据《抗标》6.2.9条文说明中的图示，可以看出柱的剪跨比计算着重于反应“反弯点”与柱端之间的相对距离。

图14《抗标》6.2.9条文说明

可以参考《教材》中简化计算的“反弯点法”理论，在柱体分析中，柱剪力可等效为作用于弯矩为零的特定位置（反弯点）集中力，此时可计算出柱两端的最大弯矩值。

图15 反弯点法

注意，《抗标》6.2.9条款规定，应取上下两端计算结果中的较大值。

图16 《抗标》6.2.9：λ计算方法

换言之，在柱剪力和截面尺寸保持不变的情况下：

（1）若反弯点不在柱的中点位置，上下两端的弯矩值会随着距离反弯点的远近而变化，距离反弯点较远的一端弯矩值较大。又由于规范要求取上下两端中的弯矩较大值，所以当弯点不在柱的中心位置，且距离中心越远，计算出的剪跨比将相应增大（一般是底端较大）。

（2）若反弯点恰好位于柱的中点，则上下两端的弯矩值大致相同，剪跨比结果也相同。与反弯点不在柱中心的情况相比，此时的剪跨比相对较小。

因此，若使用通用算法计算剪跨比，反弯点可能不会恰好位于柱子的中心。在这种情况下，对比采用将反弯点假设在柱中央的简化算法，所得剪跨比结果可能会偏大。

4.4 两种算法的结果对比

根据上文的理论，并通过实测对比发现，简化算法下的剪跨比λ结果，总是小于通用算法，即为：

简化算法Hn/(2ho)柱净高＜简化算法H/(2ho)柱层高＜通用算法M/(Vho)

图17 对比SATWE三种剪跨比算法

注意：本程序中提供的“简化算法H/(2ho)[H柱层高]”并非遵循现行规范。由于柱体高度取值的增加会导致计算结果增大，该结果介于简化算法与通用算法之间，相较按Hn柱净高计算在评估短柱时显得更为有利，因此，建议设计师在使用该功能时，应自行判断其适用性。

综上所述，采用“简化算法”，剪跨比偏小，

1、更容易被判断为短柱，增加框柱的配筋构造措施；

2、剪压比计算可能会采用更保守系数0.15；

3、斜截面受剪承载力的计算，也就是箍筋的计算过程中，若剪跨比λ位于1至3的区间内，随着λ值的增加，箍筋的面积Asv相应增大。然而，由于λ对箍筋结果的影响相对有限，不必过度追求对此项的优化。主要影响因素仍然是前两项。（如图所示）

4、值得注意的是，上述第三项计算箍筋时，减小λ值是有利的，且λ的“代入值”限制在1到3之间。然而，在前两项判断短柱的情况下，λ值越大则越有利。这意味着设计师在设计时会优先考虑增大λ值，而不会为了降低箍筋计算量而选择减小λ值。

图18构件信息

参 考 文 献

[1] JGJ3-2010高层建筑混凝土结构技术规程[S]北京：中国建筑工业出版社.

[2] GB/T50011-2010 建筑抗震设计标准[S].北京：中国建筑工业出版社，2024

[3] GB/T50010-2010 混凝土结构设计标准[S].北京：中国建筑工业出版社，2024